Jüri Allik on sündinud 3. märtsil 1949. aastal Tallinnas. Keskhariduse omandas ta Tallinna 7. keskkoolis ning 1973. aastal lõpetas Tartu ülikooli psühholoogi diplomiga. Psühholoogiakandidaadi väitekirja „Nägemistaju uurimine heleduse ruumilise jaotuse analüüsi protsessis“ kaitses ta 1976. aastal Moskva riiklikus ülikoolis ning psühholoogiadoktori väitekirja „Visuaalse kinemaatika tajumine“ Tampere ülikoolis.
Eesti teaduste akadeemia liikmeks valiti Jüri Allik 2010. aastal.
Tööd Tartu ülikoolis alustas Jüri Allik 1973. aastal, kus ta oli aastatel 1973–1989 psühholoogiaosakonna teadur ja vanemteadur (1978–1983 dotsent). Paaril aastal (1991–1992) töötas Jyväsküla ülikoolis vanemassistendi ja dotsendina. 1992. aastal sai temast Tartu ülikooli psühhofüüsika ning 2002 eksperimentaalpsühholoogia professor. Aastatel 1993–2012 (vaheaegadega) oli Jüri Allik Tartu ülikooli psühholoogiaosakonna juhataja, 1996–2001 sotsiaalteaduskonna dekaan, 2012–2018 psühholoogia instituudi juhataja. Alates 2011. aastast on ta psühholoogia doktoriõppe programmijuht.
Jüri Alliku teadustöö peasuunad on nägemistaju, isiksusepsühholoogia, rahvuslike stereotüüpide tekkemehhanismid, vaimsete võimete uurimine. Tema teadustöid iseloomustab uuritavate teemade erakordselt lai haare, uudsus ja julgus mõelda raamidest välja ning haruldane oskus esitada olulisi uurimisküsimusi. Tulemusrikas on olnud Jüri Alliku ja tema kolleegide koostöö Eesti geenivaramuga, mis on kestnud üle 15 aasta ning mille otseseks tulemuseks on ligi 40 kõrgetasemelist rahvusvahelist publikatsiooni, mitmed edukalt kaitstud doktoritööd ning uurimistoetused. Jüri Allik on Eesti üheks enim viidatud sotsiaal- ja käitumisteadlaseks. Google Scholari andmetel on tema töid viidatud üle 30 tuhande korra ja juba ligi 15 aastat kuulub ta andmebaasi Essential Science Indicators’i (ESI) põhjal maailmas psühhiaatria/psühholoogia valdkonna 1% kõige viidatumate autorite hulka.
Jüri Allik on õpetanud vähemalt 2000 psühholoogi ning juhendanud lugematul arvul bakalaureuse- ja magistritöid. Tema juhendamisel on kaitstud üle 20 doktoritöö, paljud endistest doktorantidest on nüüdseks professorid nii Eestis kui mujal maailmas, pälvinud rahvusvaheliselt mainekaid toetusi ja tunnustusi, teinud edukat karjääri. Tema sulest on ilmunud mitmed monograafiad, artiklikogumikud ja kooli- ning kõrgkooliõpikud.
Jüri Allik oli Eesti psühholoogide liidu esimene president (1988–1994), Tartu ülikooli sotsiaalteaduskonna dekaan (1996–2001), Eesti teadusfondi nõukogu esimees (2003–2009) ja Eesti Vabariigi presidendi mõttekoja liige (2006–2012). Ta on olnud külalisprofessor mitmetes ülikoolides, nagu Brandeisi, Purdue, Leuveni ja Leideni ülikoolid. Ta on kahe mõttekoja Hanse-Wissenschaftskolleg (Delmenhorst, Saksamaa) ja Swedish Collegium for Advanced Study (Uppsala, Rootsi) liikmeks. Samuti oli ta pikki aastaid Helsinki Collegium for Advanced Study (Soome) akadeemilise nõukogu liige. Ta on Soome teaduste akadeemia välisliige (1997) ja Academia Europaea (2014) liige.
Kahel korral on Jüri Allik pälvinud Eesti Vabariigi teaduspreemia sotsiaalteaduste kategoorias (1998, 2005). 2018. aastal omistati talle Euroopa isiksusepsühholoogia assotsiatsiooni elutöö preemia ning 2020. aastal Eesti Vabariigi teaduse elutöö preemia pikaajalise tulemusliku teadus- ja arendustöö eest. 2001. aastal autasustati teda Valgetähe IV klassi teenetemärgiga.