Jaan Eha on sündinud 12. juunil 1950. aastal Viljandis. 1968. aastal lõpetas ta C.R. Jakobsoni nim Viljandi 1. keskkooli ning astus Tartu ülikooli arstiteaduskonda, mille lõpetas 1974. aastal ravi erialal. Arstiteaduse kandidaadi väitekirja kaitses ta Tartu ülikooli juures 1979. aastal ning arstiteaduse doktori väitekirja interventsionaal-kardioloogia uuringute valdkonnas 1990. aastal samuti Tartu ülikooli juures.
Aastatel 1974–1975 oli Jaan Eha Tartu vabariikliku kliinilise haigla arst-intern, 1975–1979 samas kardioloog, veresoontekirurgia laboratooriunmi teadur, 1980-1995 TÜ üldise- ja molekulaarpatoloogia instituudi Eesti südamekeskuse vanemteadur ja osakonnajuhataja, 1995–1997 Mustamäe haigla kardioangiograafia osakonna juhataja ja 1997–2002 samas sisehaiguste kliiniku juhataja. Alates 2002. aastast on Jaan Eha Tartu ülikooli kliinilise meditsiini instituudi südamekliiniku juhataja ja 2004. aastast kardioloogia professor.
Eesti teaduste akadeemia liikmeks loodusteaduste ja meditsiini erialal valiti Jaan Eha 2016. aastal.
Jaan Eha uuringute peamiseks suunaks on olnud südame isheemiatõve invasiivne diagnostika, südameinfarkti reperfusioonravi, interventsionaalkardioloogia ja südamepuudulikkuse medikamentoosne ravi. Akadeemik Eha on olnud südameinfarkti ravi radikaalselt muutnud ja kaasajal ainuaktsepteeritud meetodite praktikasse juurutamise üks liidreid Eestis ja kogu maailmas. Koostöös Tartu ülikooli mitmete prekliiniliste instituutidega ning Geenivaramuga kombineerib ta oma kliinilistes uuringutes väga erinevaid kaasaegseid geneetilisi ja biokeemilisi alusuuringuid, selgitamaks uusi biomarkereid kardioloogiliste haiguste varajaseks diagnoosimiseks ja kliiniliste seisundite teaduspõhiseks hindamiseks.
Südamekliiniku juhatajana on akadeemik Jaan Eha vastutav kardioloogia õpetamise eest Tartu ülikoolis. Ta on kaasaegse ja Euroopas aktsepteeritud kardioloogia õppekava ja väljaõppesüsteemi rajaja ning arendaja Eestis. Pikka aega on ta olnud vastava eriala residentuuri juhendaja. Jaan Eha on üks enimtsiteeritud Eesti arstiteadlasi, kelle kardioloogia uurimisgrupp on tõusnud arvestatavaks rahvusvaheliseks partneriks Euroopa tippülikoolide teadlastele. Tema juhendamisel on kaitstud üksteist doktoritööd ja hetkel juhendab ta kuut doktoranti. Jaan Eha käe all on õppinud arvukalt silmapaistvaid teadlasi ja arste, tänu temale on tekkinud uus põlvkond kardiolooge.
Akadeemik Eha on Eesti Vabariigi sotsiaalministeeriumi peakardioloog ja kardioloogianõunik. Ta on mitmete Eesti ning rahvusvaheliste erialaseltside liige (1989–1997 Eesti kardioloogide seltsi president), on osalenud Euroopa kardioloogia eriala ravijuhiste koostamises. Jaan Eha on ka mitmete rahvusvaheliste erialaajakirjade toimetuskolleegiumide liige ja retsensent.